The Universe and the Teacup

數學與頭腦相遇的地方
K. C. Cole. The Universe and the Teacup: The Mathematics of Truth and Beauty.

一、數學和事物到底有什麼關連？
1.相對論已經給了我們答案：我們只能觀測到關係。而量子力學則給了另一個答案：我們只能觀測到機率。　－　Arthur Eddington, 1882-1944。
2.換句話說，我們所觀測到的就是數學上的關係。
3.科學式學習如何不為自己所愚的漫長歷史。　－　Richard Feynman, 1918-1988。

第一部、心靈與數學相會的地方

二、指數式放大
1.在某種程度上來說，導引我們社會的倫理原則的，一值都是基於我們對自然世界的瞭解。

三、預估風險
1.對風險的態度是在文化背景中培養出來的，深深受到從心理到倫理、到信仰的影響。
2.人們經常會冒很大的風險去防止某些損失，可是肯為了可能的得益去冒風險的意願就小得多。
3.總會有這麼一個風險，那就是：風險預估本身就是錯的。

第二部、對物質世界的解釋
1.就如資訊的其它性質一樣，訊號和雜訊的區別往往完全是由環境背景來決定的。

四、量度男人、女人及事物

五、尺度的問題
1.因為我們只能在我們的時間尺度中看到事物，因此失去了許多觀點。

六、突現的性質：多帶來不同

七、預測的數學
1.統計學上的預測，即機率，也許是所有二十世紀的科學發展中最典型的特性。它代表我們對現實的認清，我們不能聲稱我們知道所有事物的成因，因為這些成因太多、太多了。　－　物理學家莫里森。

八、稻草堆中的訊號
1.即使雜訊本身也能用來把訊號加強。這個叫「隨機共鳴（stochastic resonance）」的方法是利用以下的事實：有些隨機的背景起伏，有時可以把微弱訊號放大到可以觀測得到的地步。

第三部、對社會世界的解釋

九、選舉：吉尼爾是對的
1.可是我們很容易可以證明，選舉的結果直接和選舉制度有關。即使選民的偏愛不變，如果他們改變了選舉方式，仍然能選出不同的贏家。

十、公平的分配：所羅門王的智慧

十一、和藹體貼的數學原理：數學證明了金律

第四部、真理的數學原理

十二、事情因何發生？
1.機率的數學是一種必要的工具，藉以篩檢出那些純粹基於機遇而預期會出現的事物－可是這不等於說，這些事物並沒有一個發生的理由。

十三、舉證的重擔
1.嚴格來說，幾乎我們所有的知識都是有問題的；在這個我們能確知的小範疇中，即使是數學本身尋覓真理的方法（歸納及類比），都是基於機率的。　－　拉普拉斯，1814。
2.數學定律是否適用於現實世界，並不確定。就其確定的部分而言，並不涉及現實世界。　－　愛因斯坦。
3.數學家 Kurt Godel （1906-1978，奧地利數學家，後來遷居美國）證明了：有超越邏輯的真理，也有只依靠邏輯無法證明的真理。
4.形式演繹至高無上的成功，乃在證明自己在某種形式演繹的推斷上是無能為力的。　－　紐曼。
5.曾經有過一陣子，人們認為邏輯演繹法則以及它們所描述及解釋的自然律，都是銘刻在石碑上的經典。現在甚至數學家都知道有許多不同的邏輯體系了，知道邏輯法則有其限制，邏輯與自然律就像人家的法律一樣可因社會變遷而改變。
6.我們現在的知識中，最能讓我們感到有安全感的，就是知道我們不知道的是什麼。　－　紐曼。

十四、諾塞與愛因斯坦：真理的不變性
1.去看那些獨特現象裡的一般性，那些短暫現象裡的恆久性，就是科學思考的目標。　－　Alfred North Whitehead, 1861-1947。
2.當你的視野增加時，複雜的事物也能獲得優雅的簡單性。
3.自然律不是永恆而抽象的真理，它們是在某種經過選擇的場景中盛行的模式。　－　Ian Stewart。
4.科學之所以有用，正是因為不同的觀點能映照出世界不同的形貌。　－　Ian Stewart。
5.淺顯的真理，反面是虛假；深邃的真理，反面還是真理。　－　Christopher Morley。